- γραμμική εξάρτηση
- Τα διανύσματα x1, x2... xm λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα εάν υπάρχει ένα σύνολο αριθμών λ1, λ2 .... λm (όχι όλοι ίσοι με το μηδέν) τέτοιο ώστε να ικανοποιείται η διανυσματική εξίσωση: λ1x1 + .... λm xm = 0. Σε αντίθετη περίπτωση τα διανύσματα λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα. Για παράδειγμα, τα ν διανύσματα e1, e2, ..., eν στον ν-διάστατο χώρο που οι συνιστώσες της δίνονται, αντίστοιχα, από την πρώτη, τη δεύτερη, ...., ...., τη ν-οστή γραμμή του πίνακα:
1 0…0
0 1…0
…….…
0 0…1
σχηματίζουν ένα σύστημα ν γραμμικών ανεξάρτητων διανυσμάτων, γιατί, αν είναι να ικανοποιηθεί η σχέση λ1e1 + .... λνeν = 0, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε (δηλαδή να σχηματίσουμε το εσωτερικό γινόμενο) αυτή τη σχέση με eh και να πάρουμε λh = 0 για κάθε h (εφόσον eh = 1 και eh · ek = 0, αν h ≠ k).
Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να υπάρχει γ.ε. των διανυσμάτων x ...., xm είναι να μηδενίζεται η λεγόμενη ορίζουσα του Γκραμ:
Στη θεωρία των συναρτήσεων, r συναρτήσεις f1, f2, ..., fr λέγονται εξαρτημένες αν ισχύει για όλα τα x μία ομογενής γραμμική σχέση Σ ci fi = 0, i=l όπου ci σταθεροί συντελεστές (όχι όλοι ίσοι με το 0). Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι οι συναρτήσεις f1, f2 ...., fr εξαρτημένες είναι ο μηδενισμός της ορίζουσας Γκραμ:
Dictionary of Greek. 2013.